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- Ein Genetiker beobachtet, dass eine seltene Mutation in einer Population mit einer Frequenz von 1 zu je 200 Individuen auftritt. Unter der Annahme des Hardy-Weinberg-Gleichgewichts, wie hoch ist die erwartete Anzahl homozygoser Individuen (mit zwei Kopien der Mutation) in einer zufällig ausgewählten Population von 10.000 Personen?
- Mutationshäufigkeit q = 1/200 = 0,005
- Frequenz homozygoser Mutationsträger = q² = (0,005)² = 2,5 × 10⁻⁵
- Ein Küstengeograf modelliert den Verlust von Mangrovenwald über die Zeit mit einer exponentiellen Zerfallsfunktion: M(t) = M₀ × e^(-0,03t), wobei M₀ die ursprüngliche Fläche in km² ist und t in Jahren. Wenn die anfängliche Mangrovenfläche 800 km² beträgt, wie groß bleibt nach 25 Jahren?
- M(25) = 800 × e^(-0,03 × 25) = 800 × e^(-0,75)
- e^(-0,75) ≈ 0,4724
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Solution: We are distributing 6 distinguishable fish species into 4 indistinguishable zones, with each zone receiving at least one species. This is equivalent to finding the number of ways to partition a set of 6 labeled elements into exactly 4 non-empty unlabeled subsets. This is given by the Stirling numbers of the second kind, denoted $ S(n, k) $. Here, $ n = 6 $, $ k = 4 $.
We compute $ S(6, 4) $. Using known values or recurrence:
with base cases $ S(n, n) = 1 $, $ S(n, 1) = 1 $, and $ S(n, k) = 0 $ for $ k > n $.
Question: A marine biologist records daily sea surface temperatures over a 7-day period, classifying each day as warm (W), moderate (M), or cold (C). How many distinct 7-day temperature sequences contain exactly two W days, at least one M day, and no two W days are adjacent?
Solution: We are to count the number of sequences of length 7 using symbols W, M, C such that:
The remaining 5 days are filled with M and C (but not all C)
Step 1: Choose positions for the 2 non-adjacent W days in 7 positions.
Indeed, this counts the number of ways to place 2 indistinct non-adjacent markers in 7 slots. So there are 15 valid position sets for W.
Subtract the one case where all 5 are C: $ 32 - 1 = 31 $ valid assignments.
Thus, total sequences: $ 15 imes 31 = 465 $.
