Una función cuadrática f(x) = ax² + bx + c pasa por los puntos (1, 4), (2, 7), y (3, 12). ¿Cuál es el valor de a + b + c?
["Cómo encontrar los coeficientes de una función cuadrática: El caso de f(x) = ax² + bx + c", "Cuando se conoce que una función cuadrática pasa por tres puntos específicos, es posible determinar sus coeficientes y resolver preguntas clave, como hallar la suma $ a + b + c $. En este artículo exploramos paso a paso cómo encontrar la función cuadrática $ f(x) = ax^2 + bx + c $ que pasa por los puntos $ (1, 4) $, $ (2, 7) $ y $ (3, 12) $, y calculamos el valor de $ a + b + c $.", "### Planteamiento del problema", "Una función cuadrática general se expresa como:", "$$\nf(x) = ax^2 + bx + c\n$$", "Dado que esta función pasa por los tres puntos, sustituimos cada uno para obtener un sistema de ecuaciones:", "- Por $ (1, 4) $:\n $$\n a(1)^2 + b(1) + c = 4 \implies a + b + c = 4 \quad \ ext{(1)}\n $$", "- Por $ (2, 7) $:\n $$\n a(2)^2 + b(2) + c = 7 \implies 4a + 2b + c = 7 \quad \ ext{(2)}\n $$", "- Por $ (3, 12) $:\n $$\n a(3)^2 + b(3) + c = 12 \implies 9a + 3b + c = 12 \quad \ ext{(3)}\n $$", "### Resolución del sistema de ecuaciones", "Tenemos:", "1. $ a + b + c = 4 $\n2. $ 4a + 2b + c = 7 $\n3. $ 9a + 3b + c = 12 $", "Restamos la ecuación (1) de (2):", "$$\n(4a + 2b + c) - (a + b + c) = 7 - 4 \implies 3a + b = 3 \quad \ ext{(4)}\n$$", "Restamos la ecuación (2) de (3):", "$$\n(9a + 3b + c) - (4a + 2b + c) = 12 - 7 \implies 5a + b = 5 \quad \ ext{(5)}\n$$", "Ahora restamos la ecuación (4) de (5):", "$$\n(5a + b) - (3a + b) = 5 - 3 \implies 2a = 2 \implies a = 1\n$$", "Sustituyendo $ a = 1 $ en (4):", "$$\n3(1) + b = 3 \implies b = 0\n$$", "Sustituyendo $ a = 1 $, $ b = 0 $ en (1):", "$$\n1 + 0 + c = 4 \implies c = 3\n$$", "### Resultados", "Los coeficientes son:", "- $ a = 1 $\n- $ b = 0 $\n- $ c = 3 $", "Por tanto, el valor de $ a + b + c $ es:", "$$\na + b + c = 1 + 0 + 3 = \boxed{4}\n$$", "### Conclusión", "Gracias al uso del sistema de ecuaciones lineales derivado de los puntos dados, pudimos identificar que la función cuadrática que pasa por $ (1, 4) $, $ (2, 7) $ y $ (3, 12) es $ f(x) = x^2 + 3 $, y que la suma de sus coeficientes es $ a + b + c = 4 $. Este método es una herramienta fundamental en algebra para determinar funciones cuadráticas a partir de condiciones específicas."]
