En substituant \( S_n = 110 \), \( a = 5 \) et \( d = 3 \) : \( 110 = \frac{n}{2}(2 \cdot 5 + (n-1) \cdot 3) \).

["Comment Résoudre l'Équation de la Somme d'une Progression Arithmétique : Étude avec ( S_n = 110 ), ( a = 5 ), ( d = 3 )", "La somme des termes d’une progression arithmétique (PA) joue un rôle fondamental en mathématiques, notamment en arithmétique et en résolution d’équations. Dans cet article, nous explorons un cas concret pour mieux comprendre comment substituer les valeurs données pour réduire l’équation générale à une forme simple, puis résoudre pour trouver le nombre de termes ( n ).", "---", "### 1. Rappel de la formule de la somme d'une PA", "La somme des ( n ) premiers termes d’une progression arithmétique est donnée par la formule :", "[\nS_n = \frac{n}{2} \left(2a + (n - 1)d\right)\n]", "où :\n- ( S_n ) = somme des ( n ) premiers termes,\n- ( a ) = premier terme,\n- ( d ) = raison (différence commune),\n- ( n ) = nombre de termes.", "---", "### 2. Substitution des valeurs données", "Nous travaillons avec les valeurs suivantes :", "[\nS_n = 110, \quad a = 5, \quad d = 3\n]", "En remplaçant dans la formule, on obtient :", "[\n110 = \frac{n}{2} \left(2 \cdot 5 + (n - 1) \cdot 3\right)\n]", "---", "### 3. Simplification de l'équation", "Calculons d’abord les termes à l’intérieur des parenthèses :", "- ( 2 \cdot 5 = 10 )\n- ( (n - 1) \cdot 3 = 3n - 3 )", "Ainsi, l’équation devient :", "[\n110 = \frac{n}{2} \left(10 + 3n - 3\right) = \frac{n}{2} (3n + 7)\n]", "Multiplions les deux côtés par 2 pour éliminer le dénominateur :", "[\n220 = n(3n + 7)\n]", "---", "### 4. Résultat final en équation quadratique", "Développons et formons une équation du second degré :", "[\n220 = 3n^2 + 7n\n]\n[\n3n^2 + 7n - 220 = 0\n]", "---", "### 5. Résolution de l’équation", "Nous résolvons cette équation quadratique ( 3n^2 + 7n - 220 = 0 ) en utilisant le ** discriminant ( \Delta ) :", "[\n\Delta = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-220) = 49 + 2640 = 2689\n]", "Le discriminant ( \Delta = 2689 ) est positif, donc deux solutions réelles existent :\n[\nn = \frac{-7 \pm \sqrt{2689}}{6}\n]", "Calculons ( \sqrt{2689} ) aproximativement :\n[\n\sqrt{2689} \approx 51.85\n]", "Donc :", "[\nn_1 = \frac{-7 + 51.85}{6} \approx \frac{44.85}{6} \approx 7.475\n]\n[\nn_2 = \frac{-7 - 51.85}{6} \approx \frac{-58.85}{6} \approx -9.808\n]", "---", "### 6. Analyse des solutions", "Puisque ( n ) doit être un entier positif (number of terms), seule une solution est plausible.\nOr, aucune des valeurs arrondies n’est un entier, ce qui pourrait sembler contradictoire. En examinant la racine avec précision méticuleuse, on trouve que ( \sqrt{2689} ) est en fait un nombre irrationnel, donc la solution exacte n’est pas entière.", "### Cependant, en context mathématique pédagogique ou exercice, on valide souvent les solutions entières possibles. Ici, on peut vérifier que aucun entier ( n ) ne satisfait exactement l’équation ( S_n = 110 ), ce qui pourrait indiquer une erreur de saisie ou une approximation attendue.", "---", "### 7. Conclusion et recommandations", "En résumé, en substituant ( S_n = 110 ), ( a = 5 ), ( d = 3 ) dans la formule de la somme d’une PA, on obtient l’équation quadratique :", "[\n3n^2 + 7n - 220 = 0\n]", "avec un discriminant ( \Delta = 2689 ), dont les solutions sont non entières. Ainsi, il n’existe pas de solution entière pour ( n ) et, dans un contexte scolaire, il est recommandé de vérifier :", "- La correctitude des valeurs saisies (( S_n = 110 ), ( a=5 ), ( d=3 )),\n- Ou d’explorer une résolution approchée enValidation pratique.", "---", "### Besoin d’un retardement ?\nLa résolution de telles équations renforce la compréhension des progessions arithmétiques, outils clés en modélisation de phénomènes linéaires, économie, physique ou informatique. Maîtriser cette manipulation permet d’aborder ensuite des sujets avancés avec confiance.", "---", "Mots-clés SEO associés :\nsomme d’une progression arithmétique, équation de la suite, résoudre une PA, calcul de ( n ), somme ( S_n = 110 ), raison ( d ), premier terme ( a = 5 ), raison ( d = 3 ), discriminant, équation quadratique, progression arithmétique enseignement, applications patronage, mathématiques exercices PA.", "---", "> Pour aller plus loin**, utilizez des outils de calcul numérique ou graphique pour visualiser la croissance de ( S_n ) en fonction de ( n ) avec ( a=5 ), ( d=3 ), et repérer où elle passe par 110."]