La somme des \( n \) premiers termes d’une suite arithmétique est 110, le premier terme est 5 et la raison est 3. Trouvez \( n \).

["Titre : Comment calculer le nombre de termes ( n ) dans une suite arithmétique dont la somme des ( n ) premiers termes est 110, avec un premier terme de 5 et une raison de 3", "---", "Introduction", "La somme des termes d’une suite arithmétique est un calcul fondamental en mathématiques, utilisé tant en cours de niveau collège que lycée. Dans ce guide, nous résolvons un problème classique : trouver le nombre de termes ( n ) d’une suite arithmétique dont la somme est connue, avec un premier terme ( a_1 = 5 ) et une raison ( r = 3 ). Nous savons que cette somme vaut 110.", "---", "Formule de la somme des ( n ) premiers termes d’une suite arithmétique", "La somme ( S_n ) des ( n ) premiers termes d’une suite arithmétique est donnée par la formule :", "[\nS_n = \frac{n}{2} \left( 2a_1 + (n-1)r \right)\n]", "---", "Données du problème", "- Somme ( S_n = 110 )\n- Premier terme ( a_1 = 5 )\n- Raison ( r = 3 )", "---", "Mise en équation", "Remplaçons les valeurs dans la formule :", "[\n110 = \frac{n}{2} \left( 2 \ imes 5 + (n - 1) \ imes 3 \right)\n]", "Simplifions l’expression entre parenthèses :", "[\n110 = \frac{n}{2} \left( 10 + 3(n - 1) \right)\n]", "[\n110 = \frac{n}{2} \left( 10 + 3n - 3 \right)\n]", "[\n110 = \frac{n}{2} \left( 3n + 7 \right)\n]", "Multiplions les deux côtés par 2 pour éliminer la fraction :", "[\n220 = n(3n + 7)\n]", "Développons le membre de droite :", "[\n220 = 3n^2 + 7n\n]", "Réorganisons en forme d’équation du second degré :", "[\n3n^2 + 7n - 220 = 0\n]", "---", "Résolution de l’équation quadratique", "Nous résolvons ( 3n^2 + 7n - 220 = 0 ) à l’aide de la formule générale :", "[\nn = \frac{ -b \pm \sqrt{b^2 - 4ac} }{2a}\n]", "Où ( a = 3 ), ( b = 7 ), ( c = -220 ).", "Calculons le discriminant :", "[\n\Delta = 7^2 - 4 \ imes 3 \ imes (-220) = 49 + 2640 = 2689\n]", "Calculons la racine carrée (sans simplification) :", "[\n\sqrt{2689} \approx 51.86 \quad \ ext{(approximation)}\n]", "Donc,", "[\nn = \frac{ -7 \pm 51.86 }{6}\n]", "On explore les deux solutions :", "1. ( n = \frac{-7 + 51.86}{6} \approx \frac{44.86}{6} \approx 7.477 ) (pas un entier, à éliminer)\n2. ( n = \frac{-7 - 51.86}{6} \approx \frac{-58.86}{6} \approx -9.81 ) (valeur négative, impossible)", "Cette première analyse semble incompatible avec un entier positif — mais sommes-nous sûrs ? Reprenons les calculs exactement.", "---", "Vérification des calculs", "Recalculons le discriminant exactement :", "[\n\Delta = 49 + 4 \ imes 3 \ imes 220 = 49 + 2640 = 2689\n]", "Posons ( 2689 = k^2 ). Est-ce un carré parfait ?\n( 51^2 = 2601 ), ( 52^2 = 2704 ), donc ( \sqrt{2689} ) n’est pas entier — ce qui suggère un calcul mou, mais en réalité, l’équation doit avoir une solution entière car ( n ) est un nombre de termes entier.", "Il est possible que nous avons mal interprété la donnée ou fait une erreur arithmétique. Relisons l’équation :", "[\n3n^2 + 7n - 220 = 0\n]", "Testons des valeurs entières proches de ce qu’on attend (typiquement ( n \approx 7 ) ou ( 8 )) :", "- Pour ( n = 8 ) :\n[\nS_8 = \frac{8}{2} \left( 2 \ imes 5 + 7 \ imes 3 \right) = 4 (10 + 21) = 4 \ imes 31 = 124 \geq 110\n]", "- Pour ( n = 7 ) :\n[\nS_7 = \frac{7}{2} (10 + 6 \ imes 3) = \frac{7}{2} (10 + 18) = \frac{7}{2} \ imes 28 = 7 \ imes 14 = 98 < 110\n]", "La somme passe de 98 à 124 entre ( n = 7 ) et ( n = 8 ), donc aucun entier ( n ) ne satisfait exactement une somme de 110 dans ces paramètres ?", "Mais cela contredit l’hypothèse du problème. Vérifions si les données sont cohérentes.", "---", "Correction et reformulation claire", "En réalité, posons directement l’équation avec les bonnes valeurs :", "[\nS_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)r] = 110\n\Rightarrow \frac{n}{2} [10 + (n-1)\ imes 3] = 110\n]", "[\n\frac{n}{2} (10 + 3n - 3) = 110\n\Rightarrow \frac{n}{2} (3n + 7) = 110\n\Rightarrow n(3n + 7) = 220\n\Rightarrow 3n^2 + 7n - 220 = 0\n]", "Essayons de résoudre exactement :\nUtilisons la formule :", "[\nn = \frac{ -7 \pm \sqrt{7^2 + 4 \ imes 3 \ imes 220} }{2 \ imes 3} = \frac{ -7 \pm \sqrt{49 + 2640} }{6} = \frac{ -7 \pm \sqrt{2689} }{6}\n]", "Or ( 2689 = 11 \ imes 244 + 5 ), vérifions ifximasse :", "( 51^2 = 2601 ), ( 2689 - 2601 = 88 ), pas un carré parfait.", "Donc le discount est que les données ne permettent pas un entier ( n ).", "Mais supposons que la somme soit 121 au lieu de 110 — un multiple proche de ( 11^2 ).", "Vérifions si la somme peut être 121, ( a = 5 ), ( r = 3 ) :", "[\nS_n = \frac{n}{2} (10 + 3(n-1)) = \frac{n}{2}(3n + 7) = 121\n\Rightarrow n(3n + 7) = 242\n\Rightarrow 3n^2 + 7n - 242 = 0\n]", "Discriminant :", "[\n\Delta = 49 + 4 \ imes 3 \ imes 242 = 49 + 2904 = 2953\n]", "Non carré parfait.", "---", "Conclusion : Données cohérentes ?", "Retour au problème initial : la somme est 110, ( a = 5 ), ( r = 3 ).\nCalcul :\n[\nS_n = \frac{n}{2}(10 + 3(n-1)) = 110\n\Rightarrow \frac{n}{2}(3n + 7) = 110\n\Rightarrow 3n^2 + 7n - 220 = 0\n]", "Solutions :\n[\nn = \frac{ -7 \pm \sqrt{2689} }{6}\n]", "Comme ( \sqrt{2689} \approx 51.86 ),\n[\nn = \frac{ -7 + 51.86 }{6} \approx 7.48\n]", "Il n’existe pas d’entier ( n ) tel que la somme soit exactement 110,.\nDonc soit les données sont approximatives, soit une erreur dans l’énoncé.", "---", "Cependant, si nous supposons que la somme est 121 (un multiple « propre »), alors :", "[\n\frac{n}{2}(3n + 7) = 121\n\Rightarrow 3n^2 + 7n - 242 = 0\n]", "Calcul discriminant :\n[\n\Delta = 49 + 2904 = 2953 \quad (\ ext{non carré})\n]", "Ou si somme = 98 (pour ( n = 7 )) :\n[\n\frac{7}{2}(3 \cdot 7 + 7) = \frac{7}{2}(28) = 98\n]", "Si somme = 124 (( n = 8 )) :\n[\n\frac{8}{2}(3 \cdot 8 + 7) = 4 \ imes 31 = 124\n]", "Résumé :\nPour ( a=5 ), ( r=3 ), les sommes possibles sont :\n( S_7 = 98 ), ( S_8 = 124 )\nAucun entier ( n ) donne ( S_n = 110 )", "---", "Conclusion finale", "Bien que la suite arithmétique avec ( a=5 ) et ( r=3 ) soit bien définie, il n’existe aucun entier ( n ) tel que la somme des ( n ) premiers termes soit exactement 110.\nLe problème tel posé n’a pas de solution entière compatible.", "---", "Prochaine étape :\nUtilisez un logiciel de calcul formel (comme WolframAlpha) ou une calculatrice pour résoudre ( 3n^2 + 7n - 220 = 0 ), ce qui donne un ( n \approx 7.48 ), donc pas de solution entière.", "---", "Keywords SEO :\n\sumine termine suite arithmétique, calcul somme terme suite, formule somme suite arithmétique, résolution équation quadratique, suite arithmétique sum (n) terme, résoudre suite arithmétique somme non entière, exemple pratique somme suite a1, raison r, premier terme", "---", "Pourquoi cet article ?\nIl permet de comprendre comment appliquer la formule de la somme d’une suite arithmétique, tout en sensibilisant à la rigueur nécessaire sur la cohérence des données — une compétence clé pour les élèves et enseignants.", "---", "Lien utile :\nFormule somme suite arithmétique — Khan Academy", "Remarque :**\nSi vous avez une somme entière compatible, remplacez 110 par la valeur correcte pour obtenir un ( n ) entier — par exemple, ( S_n = 124 \Rightarrow n = 8 )."]